nghiên cứu kinh tế lượng

Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
Vì
σ
i
2
là chưa biết nên Park đã đề nghị sử dụng
e
i
2
thay cho
σ
i
2
và ước lượng
hồi quy sau:
lne
i
2
=ln σ
i
2
+ β
2
ln X
i
+v
i
=
β
1
+ β
2
ln X
i
+v
i
(3)
Trong đó
v
i
là số hạng ngẫu nhiên
Các bước tiến hành kiểm định Park
Bước 1: Ước lượng hồi quy gốc, cho dù có hay không tồn tại hiện tượng phương sai của
sai số thay đổi.
Bước 2: Từ hồi quy gốc, thu được các phần dư sau đó bình phương chúng được
e
i
2
rồi
đến lấy
lne
i
2
Bước 3: Ước lượng hồi quy trong đó biến giải thích (
X
i
)là biến giải thích trong hồi
quy gốc, nếu có nhiều biến giải thích có thể ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích,
hoặc có thẻ ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích, trong đó với
̂
Y
i
là
Y
i

đã được ước lượng.
Bước 4: Kiểm định giả thiết
H
o
: β
2
=0
nghĩ là không có hiện tượng phương sai của sai số
thay đổi. Nếu có tồn tại mối liên hệ có ý nghĩa về mặt thống kê giữa
ln e
2
và
lnX
i
.
Thì giả thiết
H
o
:
β
2
= 0 có thể bác bỏ trong trường hợp này ta phải tìm cách khắc
phục.
Bước 5: Nếu giả thiết
H
o
:
β
2
= 0 được chấp nhận thì
β
1
trong hồi quy (3) có
thể được giải thích như là giá trị của phương sai không đổi (
β
1
=ln σ
2
).
5.2.2. Kiểm định Glejser
Kiểm định Glejser cũng tương tự như kiểm định Park. Sau khi thu được phần dư e
i
từ hồi
quy gốc theo phương pháp bình phuong nhỏ nhất. Glejser đã đề nghị hồi quy giá trị tuyệt
đối của e
i
đối với biến X
i
nào đó mà có thể kết hợp chặt chẽ với
σ
i
2
. Trong thực
nghiệm Glejser sử dụng hàm hồi quy phụ sau:
∣
e
i
∣
=β
1
+ β
2
X
i
+V
i
∣
e
i
∣
= β
1
+ β
2
√
X
i
+V
i
∣
e
i
∣
=β
1
+ β
2
1
X
i
+V
i
∣
e
i
∣
= β
1
+ β
2
1
√
X
i
+V
i
Trong các mô hình hồi quy phụ nêu trên, nếu giả thiết H
0
: β
2
= 0 bị bác bỏ thì có thể cho
5
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
rằng mô hình hồi quy gốc có phương sai sai số thay đổi.
Cần lưu ý rằng kiểm định Glejser cũng có vấn đề như kiểm định Park như: E(V
i
) ≠ 0, V
i
có
tương quan chuỗi. tuy nhiên Glejser cho rằng với mẫu lớn thì bốn mô hình trên cho ta kết
quả tốt trong việc phát hiện phương sai sai số thay đổi. Do vậy mà kiểm định Glejser được
sử dụng như một công cụ để chuẩn đoán trong mẫu lớn.
5.2.3. Kiểm định tương quan hạng Spearman
Kiểm định tương quan hạng của Spearman.
Định nghĩa:hệ số tương quan hạng Spearman
r
s
được xác định như sau:
r
s
=1−6
∑
d
i
n(n
2
−1)
Trong đó
d
i
là hiệu của các hạng được gắn cho hai đặc trưng khác nhau cùng một
phần tử thứ i và n bằng số các phần tử được xếp hạng.
Hệ số tương quan hạng có thể được dùng để phát hiện phương sai của sai số thay đổi.
Chúng ta xét mô hình:
Y = β
1
+ β
2
X
i
+U
i

Thủ tục kiểm định như sau:
Bước 1: Ước lượng hồi quy trên tập số liệu đối với Y và X thu được phần dư
e
i
.
Bước 2: Xếp hạng
∣
e
i
∣
và
X
i
theo thứ tự giảm hoặc tăng, tính d= hạng
∣
e
i
∣
-
hạng
X
i
sau đó tính hệ số tương quan hạng Spearman.
Bước 3: giả sử hệ số tương quan hạng của tổng thể là
p
i
=0 và n>8 thì ý nghĩa của hệ
tương quan hạng mẫu
r
s
có thể được kiểm định bằng tiêu chuẩn t sau:

t=
r
s
√
n−2
√
1−r
s
2
với bậc tự do df = n - 2.
Nếu giá trị t tính được mà vượt điểm tới hạn t, chúng ta có thể chấp nhận giả thiết phương
sai của sai số thay đổi. nếu mô hình hồi quy có biến giải thích thì hệ số tương quan hạng
có thể tính giữa
∣
e
i
∣
với mỗi một biến X riêng và có thể kiểm định ý nghĩa thống kê
bằng tiêu chuẩn ở trên.
5.2.4. Kiểm định Goldfeld – Quandt
6
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
Nếu giả thiết rằng phương sai của sai số thay đổi
σ
i
2
có thể liên hệ dương với một
trong các biến giải thích trong mhhq thì ta có thể sử dụng kiểm định này.
Xét mô hình 2 biến:
Y
i
=β
1
+ β
2
X
i
+U
i
Giả sử
σ
i
2
có liên hệ dương với biến X theo cách sau:
σ
i
2
=σ
2
X
i
2
Trong đó
σ
i
2
là hàng số. Giả thiết này có nghĩa là
σ
i
2
tỷ lệ với bình phương của
biến X. Nếu giả thiết trên là thích hợp thì điều này có nghĩa là khi X tăng
σ
i
2
cũng
tăng.
Các bước kiểm định Goldfeld - Quandt gồm các bước sau:
Bước 1: Sắp xếp các quan sát theo giá trị tăng dần về giá trị của biến X.
Bước 2: Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau:
Đối với mô hình 2 biến. George G.Judge đề nghị:
C = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30
C = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n = 60
Và chia số quan sát còn lại thành 2 nhóm, trong đó mỗi nhóm có
n−c
2
quan sát.
Bước 3: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất ước lượng tham số hàm hồi quy đối
với
n−c
2
quan sát đầu và cuối: thu được tổng bình phương các phần dư của RSS
1
,
RSS
2
tương ứng. Trong đó RSS
1
đại diện cho RSS
2
từ hồi quy tương ứng với các giá trị của
X
i
nhỏ hơn RSS
2
- ứng với các gái trị X
i
nhỏ hơn. Bậc tự do tương ướng
2
cn −
- k hoặc
2
2kcn
−−
. Trong đó k là số các tham số được ước lượng kể cả hệ số chặn (trường hợp 2
biến k = 2).
Bước 4: Tính
F =
RSS
1
df
RSS
2
df
Nếu U
i
là phân phối chuẩn và nếu giả thiết về phương sai có điều kiện không đổi được thỏa
mãn thì F tuân theo phân phối F với bậc tự do ở tử số và mẫu số là (n-c-2k)/2, nghĩa là F có
phân phối F(df,df).
Trong ứng dụng nếu F tính được lớn hơn điểm giớ hạn F ở mức ý nghĩa mông muốn, thì
chúng ta có thể từ bỏ H
0
: phương sai có điều kiện không đổi. nghĩa là có thể nói có thể
phương sai số thay đổi.
7
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
Chú ý rằng trong trường hợp các biến giải thích X nhiều hơn 1 thì việc sắp xếp các quan
sát trong kiểm định ở bước 1 có thể làm đối với một biến bất kỳ trong các biến giải thích
đó. Chúng ta có thể tiến hành kiểm định Park đối với mỗi biến X.
Chú ý : Theo kinh nghiệm của các nhà kinh tế lượng thì số quan sát bị loại bỏ khoảng 20%
tổng số quan sát mà không nhất thiết mà không phải bỏ đi các quan sát ở giữa.
Trong trường hợp đó cần phải xác định số bậc tự do cho thích hợp. Các thử nghiệm theo
phương pháp Monte Carlo thì c = 8 nếu n khoảng 30; c =6 nếu n khoảng 60.
5.2.5. Kiểm định Breusch – Pagan – Godfrey (BPG)
Xét mô hình hồi qui k biến sau:
Yi = β
1
+ β
2
X
2i
+ … + β
k
X
ki
+ U
i
(1)
Giả sử σ
i
2
được mô tả như là một hàm số của các biến phi ngẫu nhiên Z
i
, Z
i
là các
biến X
i
(một số hoặc tất cả) có ảnh hưởng đến σ
i
2
, có dạng:
σ
i
2
= f(Z
2i
, Z
3i
, …, Z
mi
)
Giả định f(Z
2i
, Z
3i
, …, Z
mi
) có dạng tuyến tính:
σ
i
2
= α
1
+ α
2
Z
2i
+ … + α
m
Z
mi
nếu α
2
= α
3
= … = α
m
= 0 thì σ
i
2
= α
1
là hằng số.
Do vậy, việc kiểm định xem liệu rằng σ
i
2
có thay đổi hay không, chúng ta có thể kiểm định
giả thuyết H
0
: α
2
= α
3
= … = α
m
= 0.
Kiểm định Breusch – Pagan– Godfrey qua các bước sau:
Bước 1: Ước lượng (1) bằng phương pháp OLS để thu được phần dư e
1
, e
2
, …, e
n
.
Bước 2: Tính
n
e
n
i
i
∑
=
=
1
2
2
~
σ
2
~
σ
Bước 3: Xây dựng biến p
i
= e
i
/
Bước 4: Hồi quy p
i
theo các biến Z
i
dưới dạng:
p
i
= α
1
+ α
2
Z
2i
+ … + α
m
Z
mi
+ v
i
(*)
trong đó vi là số hạng ngẫu nhiên của hồi qui này.
8
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
Bước 5: Thu được ESS (tổng các bình phương được giải thích) từ (*) và xác định:
ESS
2
1
=
θ
Giả thuyết rằng U
i
có phân phối chuẩn và khi cỡ mẫu n tăng lên vô hạn thì θ ≈ χ
2
(m – 1).
Tức
là θ sẽ xấp xỉ χ
2
với m – 1 bậc tự do.
Như vậy, nếu trong áp dụng mà ta tính được θ vượt giá trị tra bảng χ2 với m – 1 bậc tự do
với mức ý nghĩa đã chọn, thì chúng ta bác bỏ giả thuyết H0 về phương sai đồng đều.
Ngược lại, chúng ta có thể chấp nhận nó.
5.2.6. Kiểm định White
Kiểm định BJG cần U có phân bố chuẩn, White đề nghị một thủ tục không đòi hỏi U có
phân bố chuẩn. kiểm định này là kiểm định tổng quát về sự thuần nhất của phương sai. Xét
mô hình sau đây:
Y
1
= β
1
+ β
2
X
2
+ β
3
X
3
+U
i
(
1
)
Bước 1: Ước lượng (1) bằng OLS. Từ đó thu được các phần tử dư tương ứng
e
i
Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây:
e
i
2
=α
1
+α
2
X
2
+α
3
X
3
+α
4
X
4
2
+α
5
X
5
2
+ α
6
X
2
X
3
+V
i
(
2
)
(2) có thể số mũ cao hơn và nhất thiết là phải có hệ số chặn bất kể mô hình gốc có hay
không có hệ số chặn.
R
2
là hệ số xác định bội thu được từ (2).
Bước 3: Với
H
0
: phương sai của sai số không đổi, có thể chia ra rằng:
n R
2
có
phân xấp xỉ
χ
2
(
df
)
. Df bằng số hệ số của mô hình (2) không kể hệ số chặn.
Bước 4: Nếu
n R
2
không vượt quá giá trị
χ
2
(
df
)
, thi giả thiết
H
0
không có cơ sơ
để bác bỏ . Điều này nói trong mô hình (2):
α
1
=α
2
= =α
6
=0
. Trong trường hợp ngược lại giả thiết
H
0
bị bác bỏ.
9
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
Ta nhận thấy rằng bậc tự do của tăng nhanh khicos thêm biến độc lập. Trong nhiều trường
hợp người ta có thể bỏ các số hạng có chứa tích chéo
X
i
X
j
, i j. Ngoài ra trường
trường hợp có sai lầm định dạng, kiểm định White có thể đưa ra nhận định sai lầm là
phương sai của sai số thay đổi trong trường hợp phương sai của sai số là đồng nhất.
5.2.7. Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc
Kiểm định này dựa trên ý tưởng cho rằng phương sai của yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộc vào
các biến độc lập có hay không có trong mô hình, nhưng không biết rõ chúng là nhưng biến
nào. Vì vậy, thay vì xem xét quan hệ đó, người ta xét mô hình sau đây:
α
i
2
=α
1
+α
2
(
E
(
Y
i
)
)
2
Trong mô hình trên,
σ
i
2
và E(Y
i
) đều chưa biết, do đó sử dụng các ước lượng của nó
là
e
i
2
và
̂
Y
i
2
.
Bước 1: Ước lượng mô hình ban đầu bằng OLS. Từ đó thu được e
i
và
̂
Y
i
.
Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây bằng OLS:
e
i
2
=α
1
+α
2
̂
Y
i
2
+v
i
Từ kết quả này thu được R
2
tương ứng. Có thể sử dụng hai kiểm định sau đây để kiểm định
giả thiết:
H
0
: Phương sai của sai số không thay đổi
H
1
: Phương sai của sai số thay đổi
• Kiểm định
χ
2
nR
2
có phân phối xấp xỉ
χ
2
(1). Nếu nR
2
lớn hơn
χ
α
2
(1) thì H
0
bị bác bỏ.
Trường hợp ngược lại không có cơ sở bác bỏ H
0
.
• Kiểm định F
F =
(
̂
α
2
se
(
̂
α
2
)
)
2
có phânbố F (1, n−2)
Nếu F > F
α
(1, n-2) thì hệ số α
2
≠ 0, có nghĩa H
0
bị bác bỏ.
6. Phương pháp khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi
Như chúng ta đã biết, phương sai của sai số thay đổi làm cho các ước lượng không còn là
ước lương hiệu quả nữa. Vì thế biện pháp khắc phục là hết sức cần thiết.Việc chữa chạy
căn bệnh này phụ thuộc chủ yếu vào liệu, được biết hay chưa. Ta phân biệt 2 trường hợp.
10
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
1.
σ
i
2
Đã biết
Khi đã biết chúng ta có thể dễ dàng khắc phục căn bệnh đó bằng cách sử dụng
phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số đã trình bày ở trên.
2.
σ
i
2
Chưa biết
Trong nghiên cứu kinh tế việc biết trước
σ
i
2
nói chung là hiếm. Vì vậy nếu chúng ta
muốn sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số thì chúng ta cần có những
giải thiết nhất định về
σ
i
2
và biến đổi mô hình hồi quy gốc sao cho mô hình đã đươc
biến đổi này thoả mãn giả thiết phương sai của sai số không đổi.Phương pháp bình phương
nhỏ nhất sẽ đươc áp dụng cho mô hình đã được biến đổi như đã chỉ ra trước đây, phương
pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số là phương pháp bình phương nhỏ nhất áp dụng cho
tập số liệu đã được biến đổi.
Chúng ta sẽ minh họa cho các phép biến đổi này qua việc sử dụng mô hình hồi quy 2 biến
mà ta gọi là mô hình gốc:

Y
i
= β
1
+ β
2
X
i
+U
i
Giả sử mô hình này thỏa mãn các giả thiết của mô hình hồi quy tuyển tính cổ điển trừ giả
thiết phương sai của sai số không đổi. Chúng ta xét 1 số giải thiết sau về phương sai của
sai số. Những dạng này tuy chưa bao quát được tất cả nhưng phổ biến.
Giả thiết 1: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích.

E
(
U
i
2
)
=σ
2
X
i
2
(6.41)
Nếu bằng phương pháp đồi thị hoặc tiếp cận Park hoặc Glejser …chỉ cho chúng ta rằng có
thể phương sai
U
i
tỉ lệ với bình phương của biến giải thích X thì chúng ta có thể biến
đổi mô hình gốc theo cách sau:
Chia 2 vế của mô hình gốc cho
X
i
(
X
i
#0)

Y
i
X
i
=
β
1
x
i
+ β
2
+
U
i
X
i
= β
1
1
X
1
+ β
2
+V
i
(6.42)
Trong đó
v
i
=
U
i
X
i
là số hạng nhiều đã được biến đổi ,
Và rõ ràng rằng
E (v
i
)
2
=σ
2
, thực vậy

E (v
i
)
2
=E(
U
i
X
i
)
2
=
1
X
1
2
E(U
i
)
2
=
σ
2
X
i
2
X
i
2
=σ
2

11
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
Như vậy tất cả các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cố điển được thảo mãn đối với
(6.42) vậy ta có thể áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho phương trình đã được
biến đổi (6.38). Hồi quy
Y
i
X
i
theo
1
X
i
. Chú ý rằng trong hồi quy đã được biển đổi
thì số hạng chặn
β
2
là hệ số góc của phương trình hồi quy gốc và hệ số góc
β
1
là
số hạng chặn trong mô hình hồi quy gốc. Di đó để trở lại mô hình hồi quy gốc chúng ta
phải nhân cả 2 về của (6.38) đã được ước lượng với
X
i
.
Giả thiết 2: Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X:


E
(
U
i
2
)
=σ
2
X
i


Nếu sau khi ước lượng hồi quy bằng phương pháo bình phương nhỏ nhất thông thường,
chúng ta vẽ đồ thị của phần dư này với biến giải thích X và quan sát hiện tượng chỉ ra
phương sai của sai số liên hệ tuyến tính với biến giải thích hoặc bằng cách nào đó có thể
tin tưởng như vậy thì mô hình gốc sẽ được biển đổi như sau:
Với mỗi i chia cả 2 về của mô hình gốc cho
√
X
i
(với
√
X
i
>0
)
Y
i
√
X
i
=
β
1
√
X
i
+ β
2
√
X
i
+
U
i
√
X
i
= β
i
1
√
X
i
+β
2
√
X
i
+v
i
(6.43)
Trong đó
V
i
=
U
i
√
X
i
và có thể thấy ngay rằng
E
(
v
i
)
=σ
2
.
Chú ý mô hình (6.43) là mô hình không có hệ số chặn cho nên ta sử dụng mô hình hồi quy
gốc để ước lượng, sau khi ước lượng (6.43) chúng ta sẽ trở lại mô hình hồi quy bằng cách
nhân cả 2 vế (6.43) với
√
X
i
.
Giả thiết 3: Phương sai cua sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kì vọng của Y, nghĩa là
E (U
i
2
)
2
=(E
(
Y
i
)
)
2
.
Khi đó thực hiện phép biến đổi biến số như sau :
Y
Y
Y
Y
E (¿¿ i)
E(¿¿ i) X
i
+
U
i
¿
E (¿¿ i)+
β
2
¿
E (¿¿ i)=
β
1
¿
Y
i
¿
=
Y
E (¿¿ i) X
i
+V
i
β
1
1
(Y
i
)
+ β
2
1
¿
Trong đó
Y
E( ¿¿i)
V
i
=
U
i
¿
v
var (¿ ¿i)=σ
2
¿
12
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
Nghĩa là nhiễu
V
i
,có phương sai không đổi .điều này chỉ ra rằng hồi quy (6.44) thỏa
mãn giả thiết phương sai không đổi của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển .
Tuy nhiên phép biến đổi (6.44) vãn chưa thực hiện được vì bản thân
Y
(¿¿i)
E ¿
phụ thuộc vào
β
1
và
β
2
trong đó
β
1
và
β
2
lại chưa biết
Như chúng ta đã biết
̂
β
i
=
̂
β
1
+
̂
β
2
X
i
là ước lượng của
Y
(¿¿i).
E¿
Do đó có thể tiến hành theo 2 bước
sau:
Bước 1: Ước lượng hồi quy ban đầu bằng phương pháp bình phương bé nhất thông
thường, thu được. Sau đó sử dụng để biến đổi mô hình hồi quy gốc thành dạng như sau:

Y
i
̂
Y
i
= β
1
(
1
̂
Y
i
)
+ β
2
(
X
i
̂
Y
i
)
+V
i
Trong đó
V
i
=
U
i
̂
Y
i
Bước 2: Ước lượng hồi quy (6.45) dù
̂
β
i
không chính xác là
Y
(¿¿i)
E ¿
. Chúng chỉ là
ước lượng vững nghĩa là khi cỡ mẫu tang lên vô hạn thì chúng hội tụ dến
Y
(¿¿ i)
E ¿
vì vậy
phép biển đổi (6.45) có thể sử dụng trong thực hành khi cỡ mẫu tương đối lớn .
Giả thiết 4. Hạng hàm sai
Đôi khi thay cho việc dự đoán về người ta định dạng lại mô hình ,Chẳng hạn thay cho việc
ước lượng hồi quy gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi quy

lnY
i
=
β
1
+ β
2
ln X
i
+U
i
Việc ước lượng hồi quy có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác động của
phép biến đổi loga. Một trong những ưu thế của phéo biến đổi loga là hệ số góc là hệ số
góc
β
2
là hệ số co dãn của Y đối với X.
13
Nhóm 08 – KTL – 1113AMAT0411
PHẦN THỰC HÀNH BÀI TẬP
(Có kết hợp sử dụng và minh hoạ bằng phần mềm Eview 4.0)
Bộ số liệu sử dụng
Sản lượng, diện tích và năng suất lúa mùa của tỉnh Lạng Sơn từ năm 1995 – 2009.
(Nguồn: Tổng cục thống kê).
Bộ số liệu gồm 3 biến SL, DT, NS với mẫu là 15.
Trong đó kí hiệu:
SL: Sản lượng lúa (nghìn tấn) – Là biến phụ thuộc
DT: Diện tích lúa (nghìn ha) – Là biến giải thích 1
NS: Năng suất lúa (tạ/ha) – Là biến giải thích 2
1. Phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi (mức ý nghĩa α = 5%)
Để phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi, trước tiên ta cần xác định hàm hồi quy
mẫu:
̂
SL
i
=
̂
β
1
+
̂
β
2
DT
i
+
̂
β
3
NS
i
14

Xem chi tiết: nghiên cứu kinh tế lượng