Về mở rộng phương trình Thuế

Lời mở đầu
cấp các kiến thức cần thiết để cho người đọc dễ theo dõi chứng minh
các kết quả của chương sau. Trong phần đầu của chương này, chúng tôi
nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản về Hình học đại số và Đại
số giao hoán. Chúng tôi chỉ điểm qua những khái niệm và kết quả chính
có sử dụng trong chương sau. Kết quả quan trọng nhất trong phần này
là Mệnh đề 1.2.16., Nhận xét 1.2.21. Phần còn lại của chương này, chúng
tôi trình bày các khái niệm và các kết quả chính của Lý thuyết số như:
giá trị tuyệt đối, định giá rời rạc, tập thực sự, tô pô v − adic, Định lý
Ostrowski.
Chương 2. Mở rộng phương trình Thue. Đây là chương chính của
luận văn. Trong chương này, chúng tôi sẽ chứng minh về tính không trù
mật theo tô pô Zariski của tập nghiệm nguyên của phương trình Thue
mở rộng khi bậc của các đa thức tham gia thỏa mãn một số điều kiện
cụ thể.
Chương này được chia thành hai phần. Phần thứ nhất, chúng tôi trình
bày khái niệm Độ cao, Định lý Không gian con, Định lý Siegel và chứng
minh một số bổ đề được sử dụng nhiều trong các chứng minh sau.
Phần thứ hai, trình bày chứng minh tính không trù mật theo tô pô
Zariski của Z(O
S
) trong Z và X (O
S
) trong X . Các kết quả chính của
chương này và cũng là của luận văn là hai định lý: Định lý 2.2.15 và
Định lý 2.2.16
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.
Tạ Thị Hoài An. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, ngưỡng mộ và lòng biết
ơn vô hạn của mình đến Cô.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo của Khoa Toán -
Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội và
Viện Toán học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong khoá học Cao
học. Tôi xin cảm ơn Khoa Khoa học Tự nhiên và Xã hội - Đại học Thái
iii
Lời mở đầu
Nguyên nay là Trường Đại học Khoa học và bộ môn Toán của Trường
Đại học Xây dựng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch
học tập của mình. Tôi xin gửi lời cảm ơn Thầy giáo TS. Lê Minh Hà đã
tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi rất nhiều trong cả khóa học. Tôi cũng
xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi hoàn thành
khoá học.
Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình: mẹ, em gái và
vợ đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và hoàn thành luận
văn này.
Hà Nội, ngày tháng năm 2009
Tác giả
Nguyễn Xuân Linh
iv
Bảng ký hiệu
[E : k] bậc của E trên k.
A
∞
tập tất cả các giá trị tuyệt đối Ácsimét trên k.
S tập chứa hữu hạn các giá trị tuyệt đối trên k bao gồm cả A
∞
.
O
S,k
vành các điểm S- nguyên trên k.
X (O
S
) = X ∩ O
n
S
.
V
∗
N
=
V
N
(G
1
, G
2
, , G
b
) ∩ V
N
V
N
tập các đa thức thuần nhất bậc N trong k[X
0
, X
1
, , X
n
].
O
k
vành định giá trên trường k.
 hợp rời.
f  g xem Định nghĩa 2.2.10
v
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Không gian xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Mở rộng phương trình Thue 16
2.1 Độ cao Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Mở rộng của phương trình Thue . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Tài liệu tham khảo 45
vi
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất cơ bản
của không gian xạ ảnh, định giá và những kiến thức liên quan khác nhằm
giúp cho người đọc dễ theo dõi. Các khái niệm và kết quả của chương
này được trích dẫn từ [2], [8], [9], [10], [13], [14], [26],
1.1 Không gian tô pô
Định nghĩa 1.1.1. Không gian tô pô là một cặp (X, τ) trong đó X là
một tập hợp và τ là một họ những tập hợp con của X(τ ⊆ 2
X
) thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ;
(ii) Nếu U
1
∈ τ và U
2
∈ τ thì U
1
∩ U
2
∈ τ;
(iii) Nếu {U
t
}
t∈T
là một họ những tập hợp con của X và U
t
∈ τ với
mọi t ∈ τ thì ∪
t∈T
U
t
∈ τ.
Tập hợp X gọi là không gian, phần tử của X gọi là điểm của không
gian, mỗi phần tử của τ gọi là tập hợp mở trong không gian X. Họ τ gọi
là tô pô trên tập hợp X.
1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và A ⊆ X.
(i) Tập hợp A được gọi là một tập hợp đóng trong X nếu phần bù
của nó X \ A là một tập hợp mở trong X.
(ii) Giao của họ tất cả các tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng
của tập hợp A, kí hiệu
¯
A.
Tập trù mật
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là không gian tô pô và A ⊆ B là các tập
con của X. Tập A được gọi là trù mật trong B nếu
¯
A ⊇ B.
Định lý 1.1.4. (Xem [2], Chương II, Định lý 3.4) Giả sử A là một tập
hợp con của một không gian tô pô X. Khi đó, A trù mật trong X khi và
chỉ khi mỗi tập hợp mở khác rỗng trong X đều có điểm chung với A.
1.2 Không gian xạ ảnh
Định nghĩa 1.2.1. Cho k là một trường. Không gian xạ ảnh n - chiều
trên k, kí hiệu P
n
k
, hay đơn giản P
n
là tập hợp các lớp tương đương của
bộ (a
0
, , a
n
) các phần tử của k, không đồng thời bằng không theo quan
hệ tương đương (a
0
, , a
n
) ∼ λ(a
0
, , a
n
) với mọi λ thuộc k \ {0}.
Mỗi phần tử của P
n
được gọi là một điểm.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử T là một họ các đa thức thuần nhất trong
k[X
0
, , X
n
]. Tập
Z(T ) = {P ∈ P
n
|f(P ) = 0 với mọi f ∈ T }
được gọi là tập không điểm của họ các đa thức thuần nhất của vành
k[X
0
, , X
n
].
Tập không điểm của một đa thức thuần nhất F được gọi là siêu mặt
xác định bởi F. Đặc biệt, nếu F là đa thức thuần nhất bậc 1 thì siêu
mặt Z(F ) được gọi là siêu phẳng xác định bởi F.
2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Tập đại số
Định nghĩa 1.2.3. Tập con Y của P
n
được gọi là một tập đại số nếu
tồn tại họ các đa thức thuần nhất T của k[X
0
, , X
n
] sao cho Y = Z(T ).
Mệnh đề 1.2.4. (i) Hợp của hai tập đại số là một tập đại số.
(ii) Giao của một họ tùy ý những tập đại số là tập đại số.
(iii) Tập hợp rỗng và toàn bộ không gian là những tập đại số.
Chứng minh. (i). Giả sử Y
1
= Z(T
1
) và Y
2
= Z(T
2
).
Đặt T
1
T
2
= {f g ∈ k[X
0
, , X
n
]|f ∈ T
1
, g ∈ T
2
}.
Ta sẽ chứng minh Y
1
∪ Y
2
= Z(T
1
T
2
).
Giả sử P ∈ Y
1
∪ Y
2
thì hoặc P ∈ Y
1
hoặc P ∈ Y
2
. Vì vậy, P là một
không điểm của mọi đa thức trong T
1
T
2
.
Ngược lại, giả sử P ∈ Z(T
1
T
2
) và P ∈ Y
1
. Khi đó tồn tại f ∈ T
1
sao
cho f(P ) = 0. Với mọi g ∈ T
2
, ta có (f g)(P ) = 0. Do đó, g(P ) = 0 hay
P ∈ Y
2
.
(ii). Giả sử Y
α
= Z(T
α
) là họ tùy ý các tập đại số. Ta sẽ chứng minh
∩Y
α
= Z(∪T
α
). Thật vậy,
nếu P ∈ ∩Y
α
thì P ∈ Y
α
với mọi α hay f(P ) = 0 với mọi f ∈ ∪T
α
.
Do đó, P ∈ Z(∪T
α
).
Nếu P ∈ Z(∪T
α
) thì f(P ) = 0 với mọi f ∈ ∪T
α
hay P ∈ Y
α
với mọi
α. Do đó, ∩Y
α
là tập đại số.
(iii). Tập rỗng ∅ = Z(1) và toàn bộ không gian P
n
= Z(0). Vì vậy, tập
rỗng và toàn bộ không gian cũng là tập đại số. ♦
Định nghĩa 1.2.5. Trên P
n
xác định tô pô với các tập mở là phần bù
của các tập đại số được gọi là tô pô Zariski.
Định nghĩa 1.2.6. Một tập con khác rỗng Y của không gian tô pô X
được gọi là khả quy nếu nó biểu diễn được thành hợp của hai tập con
đóng thực sự trong Y. Trái lại, Y được gọi là bất khả quy.
3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.2.7. Đa tạp đại số xạ ảnh (hay đơn giản đa tạp xạ ảnh)
là một tập con đóng, bất khả quy trong P
n
.
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử Y là một tập con của P
n
. Iđêan
I(Y ) := {f ∈ k[X
0
, , X
n
]|f là đa thức thuần nhất và f(P ) = 0 với mọi P ∈ Y }
được gọi là iđêan thuần nhất của Y trong k[X
0
, , X
n
].
Định nghĩa 1.2.9. Giả sử X là một không gian tô pô. Chiều của X
là supermum của tất cả các số nguyên n sao cho tồn tại một dãy Z
0
⊂
Z
1
⊂ ⊂ Z
n
của các tập con phân biệt, đóng, bất khả quy của X.
Chiều của một đa tạp W được xác định là chiều của không gian tô
pô cảm sinh trên W.
Ví dụ 1.2.10. Chiều của P
n
bằng n (Xem [9], Hệ quả 4.1.8).
Mệnh đề 1.2.11. (Xem [14], Mệnh đề 1.21) Một siêu mặt bất khả quy
trong P
n
có n − 1 chiều.
Định nghĩa 1.2.12. Một đa tạp r-chiều Y trong P
n
được gọi là giao
đầy đủ nếu iđêan thuần nhất I(Y ) của Y được sinh bởi n − r đa thức
thuần nhất.
Định nghĩa 1.2.13. Giả sử Y là tập đại số trong P
n
. Vành
S(Y ) = k[X
0
, , X
n
]/I(Y ) được gọi là vành tọa độ thuần nhất của Y.
Mệnh đề 1.2.14. (Xem [10], Mệnh đề 1.2)
(i) Nếu a là iđêan sinh bởi họ các đa thức thuần nhất T thì Z(T ) =
Z(a).
(ii) Nếu T
1
⊆ T
2
là các tập con của vành đa thức k[X
0
, , X
n
] thì
Z(T
2
) ⊆ Z(T
1
).
(iii) Nếu Y
1
⊆ Y
2
là các tập con của P
n
thì I(Y
2
) ⊆ I(Y
1
).
4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
(iv) Nếu Y
1
, Y
2
là các tập con của P
n
thì I(Y
1
∪ Y
2
) = I(Y
1
) ∩ I(Y
2
).
(v) Nếu Y là tập con của P
n
thì Z(I(Y ) =
¯
Y (bao đóng của Y ).
Mệnh đề 1.2.15. Một tập đại số Y ⊆ P
n
là bất khả quy khi và chỉ khi
I(Y ) là iđêan nguyên tố.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử Y là tập đại số bất khả quy và fg ∈ I(Y ).
Khi đó, Y ⊆ Z(fg). Theo Mệnh đề 1.2.14, ta có Z(f g) = Z(f) ∪ Z(g).
Do đó, Y ⊆ Z(f ) ∪ Z(g) và Y = (Y ∩ Z(f)) ∪ (Y ∩ Z(g)).Vì Y bất
khả quy và (Y ∩ Z(f)), (Y ∩ Z(g)) là các tập con đóng của Y nên hoặc
Y = (Y ∩ Z(f )) hoặc Y = (Y ∩ Z(f)).Vì vậy, hoặc Y ⊆ Z(f) hoặc
Y ⊆ Z(g). Suy ra, hoặc f ∈ I(Y ) hoặc g ∈ I(Y ), hay I(Y ) nguyên tố.
Điều kiện đủ: Giả sử I(Y ) nguyên tố và Y = Y
1
∪ Y
2
với Y
1
, Y
2
là các tập đại số. Theo Mệnh đề 1.2.14, ta có I(Y ) = I(Y
1
) ∩ I(Y
2
).
Vì I(Y ) nguyên tố nên I(Y ) bất khả quy. Do đó, hoặc I(Y ) = I(Y
1
)
hoặc I(Y ) = I(Y
2
). Vì Y, Y
1
, Y
2
đóng nên theo Mệnh đề 1.2.14 ta có
Z(I(Y )) = Y , Z(I(Y
1
)) = Y
1
và Z(I(Y
2
)) = Y
2
. Vì vậy, hoặc Y = Y
1
hoặc Y = Y
2
, hay Y bất khả quy. ♦
Mệnh đề 1.2.16. (Xem [9], Mệnh đề 4.2.4) Cho X là đa tạp xạ ảnh
của P
n
và f ∈ k[X
0
, , X
n
] là đa thức thuần nhất khác hằng không triệt
tiêu hoàn toàn trên X. Khi đó, dim(X ∩ Z(f)) = dim X − 1.
Hệ quả 1.2.17. Giả sử
Z ⊂ P
n
là giao đầy đủ r-chiều không chứa siêu
phẳng tại vô cực X
0
= 0. Khi đó giao của Z với siêu phẳng X
0
= 0 là
một đa tạp r − 1 chiều.
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.16 với X =
Z và f = X
0
. ♦
Định lý 1.2.18. (Xem [13], Chương 5, Định lý 22) Cho R là vành
Noether và R[X
1
, , X
n
] là vành đa thức n biến. Khi đó
dim R[X
1
, , X
n
] = dim R + n.
Hệ quả 1.2.19. Giả sử k là trường. Khi đó dim k[X
1
, , X
n
] = n.
5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.2.20. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một
R-môđun hữu hạn sinh.
(i) Ta nói rằng x ∈ R là phần tử M-chính quy nếu xm = 0 với m ∈ M
kéo theo m = 0, nói cách khác, nếu x không là ước của không của M.
(ii) Dãy x
1
, . . . , x
n
∈ R được gọi là một M-dãy chính quy (hoặc M-dãy)
nếu nó thỏa mãn các điều kiện:
a) x
i
là phần tử M/(x
1
, . . . , x
i−1
)M-chính quy với mọi i = 1, . . . , n;
b) M/(x
1
, . . . , x
n
)M = 0.
Từ Định nghĩa 1.2.20 ta có ngay nhận xét sau.
Nhận xét 1.2.21. 1. Nếu x ∈ R là phần tử M- chính quy thì x
k
∈
R, k ∈ N cũng là phần tử M-chính quy.
2. Nếu dãy a
1
, a
2
, , a
m
là R-dãy chính quy thì
a
2
, a
3
, , a
m
, trong
đó
a
i
= a
i
+ (a
1
) ∈ R/(a
1
)R, i = 2, m là R/(a
1
)R-dãy chính quy.
Định lý 1.2.22. (Xem [13], Chương 6, Định lý 31) Cho (R, m) là vành
địa phương Cohen - Macaulay. Khi đó dãy a
1
, a
2
, , a
r
∈ m là R-dãy
chính quy khi và chỉ khi
dim R/(a
1
, , a
r
)R = dim R − r.
Định nghĩa 1.2.23. Giả sử R là một vành giao hoán và M là một R-mô
đun. Một dãy M = M
0
⊇ M
1
⊇ ⊇ M
n
⊇ , trong đó M
n
là các mô
đun con của M, được gọi là một lọc của M và ký hiệu là (M
n
).
Định nghĩa 1.2.24. Giả sử M = ⊕
l∈Z
M
l
là một S- mô đun phân bậc
trên vành đa thức S = k[X
0
, , X
n
]. Hàm Hilbert H
M
của mô đun M
được xác định bởi
H
M
(l) = dim
k
M
l
với mỗi l ∈ Z.
6

Xem chi tiết: Về mở rộng phương trình Thuế